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By Claus Scheiderer

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Xn ] : ∀ x ∈ X f (x) = 0 , X := x∈X x ⊂ K n+1 . Dabei heißt X der affine Kegel u ur X = ∅ setzt man I+ (∅) = (x0 , . . , xn ) ¨ber X. F¨ und ∅ := {(0, . . , 0)}. F¨ ur homogenes f ∈ k[x0 , . . , xn ] setzt man weiter D+ (f ) := x ∈ Pn (K) : f (x) = 0 = Pn (K) V+ (f ). 3. Bemerkungen. 1. F¨ ur jede Teilmenge X ⊂ Pn (K) ist I+ (X) = I(X). 1) Radikalideal von k[x0 , . . , xn ]. √ 2. 1). Es gilt V+ i Mi = i V+ (Mi ) und V+ (I1 ) ∪ V+ (I2 ) = V+ (I1 ∩ I2 ) f¨ ur homogene Ideale I1 , I2 . 3. F¨ ur beliebige Teilmengen Xi von Pn (K) (i ∈ I) gilt i Xi = i Xi = i Xi und i Xi .

F (g ◦ f ) = F (f ) ◦ F (g)). Jeder kontravariante Funktor von C nach D kann aufgefaßt werden als ein kovarianter Funktor von Co nach D (oder auch von C nach Do ). Um im weiteren nicht stets zwischen kovarianten und kontravarianten Funktoren unterscheiden zu m¨ ussen, vereinbaren wir, daß alle Funktoren kovariant seien (und drehen bei Bedarf die Pfeile in der ersten Kategorie um). 6. Definition. Ein Funktor F : C → D heißt (a) treu (bzw. voll, bzw. volltreu), wenn f¨ ur alle x, y ∈ ob(C) die Abbildung F : HomC (x, y) → HomD (F x, F y) injektiv (bzw.

PROJEKTIVE VARIETATEN homogen, da X Vereinigung von Ursprungsgeraden ist. F¨ ur Y := V+ (I) gilt also Y = V(I) = X, und somit Y = X. (b) Ist X1 ⊃ X2 ⊃ · · · eine absteigende Folge k-abgeschlossener Mengen in Pn (K), so ist X1 ⊃ X2 ⊃ · · · nach (a) eine absteigende Folge k-abgeschlossener Mengen in An . 7(d)), also auch die Ausgangsfolge. 6. Satz. Sei I = (1) ein homogenes Ideal von S = k[x0 , . . , xn ], und sei X eine Teilmenge von Pn (K). √ (a) I+ (V+ (I)) = I ( homogener Nullstellensatz). (b) V+ (I+ (X)) = X (Abschluß in der k-Zariskitopologie).

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Algebraische Geometrie by Claus Scheiderer

by Donald

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